Halaman
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK82Latihan 3.2Diketahui fungsi f(x) = −24x dan g(x)= −2x. Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.a) (f + g)(x) c) (f×g)(x)b) (f – g)(x) d) ( )()=()ffxxggx3.3 Menemukan Konsep Fungsi KomposisiMasalah 3.2Suatu bank di Amerika menawarkan harga tukar Dollar Amerika (USD) ke Ringgit Malaysia (MYR), yaitu 1 USD = 3,28 MYR, dengan biaya penukaran sebesar 2 USD untuk setiap transaksi penukaran. Kemudian salah satu bank terkenal di Malaysia menawarkan harga tukar ringgit Malaysia (MYR) ke Rupiah Indonesia (IDR), yaitu 1 MYR = Rp3.169,54, dengan biaya penukaran sebesar 3 MYR untuk setiap transaksi penukaran. Seorang turis asal Amerika ingin bertamasya ke Malaysia kemudian melanjutkannya ke Indonesia dengan membawa uang sebesar 2.000 USD. Berapa IDR akan diterima turis tersebut jika pertama dia menukarkan semua uangnya ke mata uang Ringgit Malaysia di Amerika dan kemudian menukarnya ke Rupiah Indonesia di Malaysia?Alternatif PenyelesaianMasalah ini dapat diselesaikan dengan dua tahap penukaran. Langkah 1Uang sebesar 2.000 USD akan ditukar ke Ringgit Malaysia di Amerika dengan biaya penukaran sebesar 2 USD, maka jumlah uang yang diterima turis tersebut adalah
Matematika83(2.000 – 2) × 3,28 MYR = 1.998 × 3,28 MYR = 6.553,44 MYRLangkah 2Uang sebesar 6.553,44 MYR akan ditukar ke mata uang Rupiah Indonesia. Perlu diingat bahwa biaya penukaran sebesar 3 MYR, maka uang yang diterima turis tersebut adalah(6.553,44 – 3) × 3.169,54 = 6.550,44 × 3.169,54 = 20.761.881,60 IDRTuris tersebut menerima uang rupiah sebesar 20.761.881,60 IDR.Perhitungan kedua transaksi di atas dapat dibuat model matematikanya ke dalam dua fungsi sebagai berikut.Misalkant = jumlah uang dalam USD x = jumlah uang dalam MYRy = jumlah uang dalam IDRTransaksi penukaran pertama dapat dituliskan denganx = 3,28 (t – 2)x = 3,28t – 6,56Oleh karena x merupakan sebuah fungsi t, maka dapat ditulisx(t) = 3,28t – 6,56 (3.1)Untuk transaksi penukaran kedua dapat ditulis sebagai berikut.y = 3.169,54 (x – 3)y = 3.169,54x – 9.508,62Oleh karena y fungsi dari x, maka dapat ditulisy(x) = 3.169,54x – 9.508,62 (3.2)Dengan mensubstitusi persamaan 3.1 ke persamaan 3.2 diperolehy(x) = y(x(t))
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK84Misalkan f(t) = y(x(t)), makaf(t) = y(x(t))= 3.169,54 (3,28t – 6,56) – 9.508,62= 10.396,09t –20792.18 –9.508,62f(t) = 10.396,09t – 30.300,80 Fungsi f(t) = y(x(t)) ini merupakan fungsi komposisi x dan y dalam t yang dilambangkan dengan (yx)(t) dan didefinisikan dengan (yx)(t) = y(x(t)).Dengan demikian, fungsi komposisi x dan y pada masalah di atas adalah(yx) (t) = 10.396,09t –30.300,80 (3.3)Dengan menggunakan fungsi komposisi (yx)(t) seperti pada persamaan 3.3, maka dapat dihitung jumlah uang turis tersebut dalam mata uang rupiah Indonesia untuk t = 2.000 USD seperti berikut.(yx)(t) = 10.396,09t –30.300,80= 10.396,09 × (2.000) – 30.300,80= 20.792.180 – 30.300,80= 20.761.881,60Dengan demikian, jumlah uang turis tersebut dalam rupiah adalah Rp 20.761.881,60Perhatikan bahwa hasilnya sama dengan langkah pertama yang dilakukan di atas. Agar kamu lebih memahami fungsi komposisi, perhatikanlah masalah berikut.Masalah 3.3Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I yang menghasilkan bahan kertas setengah jadi. Tahap kedua dengan menggunakan mesin II yang menghasilkan kertas. Dalam produksinya, mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi f(x) = 0,9x – 1 dan mesin II mengikuti fungsi g(x) = 0,02x2 – 2,5x, dengan x merupakan banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton. Jika bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 200 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (Kertas dalam satuan ton).
Matematika85Alternatif PenyelesaianTahap-tahap produksi pabrik kertas tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.Kayu(x)ProduksiTa h a p If(x) = 0,9x – 1g(x) = 0,02x2 – 2,5x(gf)(x)ProduksiTahap IIHasilProduksiGambar 3.3 Tahapan produksi pabrik kertasDari Gambar 3.3 di atas, terlihat jelas bahwa tahap produksi kertas terdiri atas dua tahap. Hasil produksi setiap tahap dihitung sebagai berikut.Hasil produksi tahap IRumus fungsi pada produksi tahap I adalah f(x) = 0,9x – 1Untuk x = 200, diperoleh:f(x) = 0,9x – 1= 0,9(200) – 1= 179Hasil produksi tahap I adalah 179 ton bahan kertas setengah jadi. Hasil produksi tahap IIRumus fungsi pada produksi tahap II adalah g(x) = 0,02x2 –2,5xKarena hasil produksi pada tahap I akan dilanjutkan pada produksi tahap II, maka hasil produksi tahap I menjadi bahan dasar produksi tahap II, sehingga diperolehg(x) = 0,02x2 – 2,5x= 0,02(179)2 –2,5(179)= 640,82 – 447,5= 193,32
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK86Dengan demikian, hasil produksi tahap II adalah 193,32 ton bahan jadi kertas.Hasil produksi yang dihasilkan pabrik kertas tersebut jika bahan dasar kayunya sebanyak 200 ton adalah 193,32 ton bahan jadi kertas. Masalah 3.3 di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan cara yang berbeda sebagai berikut.Diketahui fungsi-fungsi produksi berikut.f(x) = 0,9x – 1 (3.4)g(x) = 0,02x2 – 2,5x (3.5)Dengan mensubstitusikan persamaan 3.4 ke persamaan 3.5, diperoleh fungsi g(f(x)) = 0,02(0,9x – 1)2 –2,5(0,9x – 1)= 0,02(0,81x2 – 1,8x + 1)– 2,5(0,9x – 1)= 0,0162x2 – 0,36x + 0,02 – 2,25x + 2,5= 0,0162x2 – 2,61x + 2,52Dengan demikian, diperoleh fungsi g(f(x)) = 0,0162x2 – 2,61x + 2,52 (3.6)Jika disubstitusikan nilai x = 200 ke persamaan 3.6, diperoleh:g(f(x)) = 0,0162x2 – 2,61x + 2,52 = 0,0162(200)2 – 2,61(200) + 2,52= 648 – 522 + 2,52 = 128,52Terlihat bahwa hasil produksi sebesar 128,52 ton. Nilai ini sama hasilnya dengan hasil produksi dengan menggunakan perhitungan cara pertama di atas. Nilai g(f(x)) merupakan nilai suatu fungsi yang disebut fungsi komposisi f dan g dalam x yang dilambangkan dengan gf. Karena itu nilai gf di x ditentukan dengan (gf)(x) = g(f(x)).
Matematika87Perhatikan Gambar 3.4 berikut.RgfDgfRf ∩DgxABBCfghf(x)g(f(x))(c)(a)(b)ABDfDgRgRffgGambar 3.4 Fungsi komposisiBerdasarkan Gambar 3.4 di atas dapat dikemukakan beberapa hal berikut.(1) Df = daerah asal fungsi f; Rf = daerah hasil fungsi f; Dg = daerah asal fungsi g; Rg = daerah hasil fungsi g; Dgf = daerah asal fungsi komposisi gf; Rgf = daerah hasil fungsi komposisi gf. (2) Fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B, ditulis f: A→B.Setiap unsur x∈Df dipetakan ke y∈Rf dengan fungsi y = f(x). Perhatikan Gambar 3.4(a).(3) Fungsi g memetakan himpunan B ke himpunan C, ditulis g: B→C.Setiap unsur y∈Dg dipetakan ke z∈Rg dengan fungsi z = g(y). Perhatikan Gambar 3.4(b).(4) Fungsi h memetakan himpunan A ke himpunan C melalui himpunan B, ditulis h: A→C. Setiap unsur x∈Dh dipetakan ke z∈h dengan fungsi z = h(x). Perhatikan Gambar 3.4(c).
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK88Berdasarkan beberapa hal di atas diperoleh definisi berikut.Jika f dan g fungsi serta Rf ∩Dg≠ Ø, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis gf) yang ditentukan denganh(x) = (gf)(x) = g(f(x))daerah asal fungsi komposisi f dan g adalah Dgf= {x∈Df | f(x)∈Dg}, denganDf = daerah asal (domain) fungsi f; Dg = daerah asal (domain) fungsi g;Rf = daerah hasil (range) fungsi f; Rg = daerah hasil (range) fungsi g.Definisi 3.2Pertanyaan KitisUntuk fungsi komposisi f dan g atau (gf)(x).1) Apa akibatnya jika Rf ∩Dg = Ø? Mengapa? Jelaskan.2) Bagaimana hubungan Dgf dengan Df? Apakah Dgf⊆ Df? Mengapa? Jelaskan.3) Bagaimana hubungan Rgf dengan Rg? Apakah Rgf⊆ Rg? Mengapa? Jelaskan.Untuk lebih memahami konsep fungsi komposisi, perhatikanlah contoh berikut. Contoh 3.2Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 2x + 1 dan fungsi g: →dengan g(x) = x2 – 1. (1) Apakah fungsi komposisi (gf)(x)dan (fg)(x) terdefinisi?(2) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x).Alternatif Penyelesaianf(x) = 2x + 1; g(x) = x2 – 1
Matematika89Df ={x | x∈} = ; Rf = {y | y∈} = Dg ={x | x∈} = ; Rg = {y | y∈} = (1) Untuk menentukan fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x) terdefinisi, maka dapat diketahui berdasarkani. Jika Rf ∩Dg ≠ Ø, maka (gf)(x) terdefinisi. {y| y∈} ∩ {x| x∈} = ∩ = ≠ Ø karena Rf ∩Dg ≠ Ø, maka (gf)(x) terdefinisi.ii. Jika Rg∩Df ≠ 0, maka (fg)(x) terdefinisi. {y| y∈} ∩ {x | x∈} = ∩ = ≠ Ø karena Rg∩Df ≠ Ø, maka (fg)(x) terdefinisi.(2) Rumus fungsi komposisi (gf)(x)dan (fg)(x) ditentukan dengani. (gf)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 –1 = (4x2 + 4x + 1) – 1 = 4x2 + 4xii. (fg)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 1) = 2(x2 – 1) + 1 = 2x2 – 2 + 1 = 2x2 –1Dengan demikian diperoleh(gf)(x) = 4x2 + 4x dan (fg)(x) = 2x2 – 1.Perhatikan kembali Contoh 3.2 di atas. Contoh 3.2 tersebut diberikan untuk menentukan fungsi komposisi jika fungsi-fungsi yang lain telah diketahui. Berikut ini diberikan contoh bagaimana menentukan fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan suatu fungsi yang lain.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK90Contoh 3.3Diketahui fungsi komposisi (gf) (x) = 18x2 + 24x + 2 dan fungsi g(x) = 2x2 – 6. Tentukanlah rumus untuk fungsi berikut.a) Fungsi f(x)b) Fungsi komposisi (fg)(x)Alternatif Penyelesaian(gf) (x) = 18x2 + 24x + 2; g(x) = 2x2 – 6a) Menentukan fungsi f(x)(gf) (x) = g(f(x)) = 18x2 + 24x + 2↔ 2 ×f(x)2 – 6 = 18x2 + 24x + 2↔ 2 ×f(x)2 = 18x2 + 24x + 2 + 6↔ 2 ×f(x)2 = 18x2 + 24x + 8↔f(x)2 = 218 + 24 + 82xx↔f(x)2= 9x2 + 12x + 4↔f(x) = ±29 + 12 + 4xx↔f(x) = ±(3x + 2)Jadi, ada dua fungsi f yang mungkin, yaitu f(x) = 3x + 2 dan f(x) = –3x – 2.b) Menentukan fungsi komposisi (fg)(x)i. Untuk f(x) = 3x + 2 (fg)(x) = f(g(x))= 3 ×g(x) + 2, karena f(x) = 3x + 2= 3 × (2x2 – 6) + 2= 6x2 – 18 + 2= 6x2 – 16Jadi, fungsi komposisi (fg)(x) = 6x2 – 16
Matematika91 ii. f(x) = –3x – 2 (fg)(x) = f(g(x))= –3 ×g(x) – 2, karena f(x) = –3x – 2 = –3 × (2x2 – 6) – 2= –6x2 + 18 – 2= –6x2 + 16Jadi, fungsi komposisi (fg)(x) = -6x2 + 163.4 Sifat-Sifat Operasi Fungsi KomposisiUntuk menentukan sifat-sifat operasi fungsi komposisi pahamilah contoh-contoh di bawah ini.Contoh 3.4Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 4x + 3 dan fungsi g: → dengan g(x) = x – 1. a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x).b) Apakah (gf)(x) = (fg)(x)? Coba selidiki.Alternatif Penyelesaiana) Menentukan rumus fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x).i. (gf)(x) = g(f(x))= g(4x + 3)= (4x + 3) –1= 4x + 2ii. (fg)(x) = f(g(x))= f(x – 1)= 4(x – 1) + 3= 4x – 4 + 3= 4x –1